Question

【题目】（1）证明函数在区间上单调递增；

（2）证明函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.

（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证.

（1）对函数求导，得，

因为任意的,有，且在区间上，

所以

即，

即函数在区间上单调递增.

（2）对函数求导，得

，

令，则

当时，由（1）知，，则

故在上单调递减

而

由零点存在定理知：存在唯一的，使得，

即

当时，，即，为增函数；

当时，，即，为减函数.

又当时，

所以在上恒为减函数，

因此有唯一的极大值点

由在上单调递减，

故

即

又当时，

故

综上，函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且