【题目】已知数列
，
，…，
的项
，其中
…，
，
，其前项和为
，记除以3余数为1的数列，，…，的个数构成的数列为
，.
（1）求
的值；
（2）求数列的通项公式，并化简.
【答案】（1）
（2）
，
【解析】
（1）根据题意这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，这样的数列共有
个，即可得解；
（2）这
项中包含2个1或5个1……或
个1，其余均为2，所以
，结合
除以3余数为2，0的数列
，
，…，
的个数构成的数列分别为
，
，根据规律猜想，并用数学归纳法证明.
解：（1）因为前六项的和除以3余数为1
所以这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，
所以这样的数列共有个，故
（2）因为，，…，和除以3余数为1，
所以这项中包含2个1或5个1……或个1，其余均为2，
所以，设除以3余数为2，0的数列，，…，的个数构成的数列分别为，
同理，
，
∵
∵
结合（1）猜想，
下面用数学归纳法证明
当
时，
，成立
假设当
时，有
，
成立，且
，
则当
时，数列共
项，分两步看，第一步先看前
项，前项的和除以3余数为1，2，0的数列的个数分别为
，
，
，第二步看后6项，最后6项的和除以3众数为0，2，1的数列的个数分别为22，21，21
∴
所以当时，猜想也成立
综上，，
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【题目】2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为
，某位患者在隔离之前，每天有
位密切接触者，其中被感染的人数为
，假设每位密切接触者不再接触其他患者.
（1）求一天内被感染人数为
的概率
与、
的关系式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第
天新增患者的数学期望记为
.
（i）求数列
的通项公式，并证明数列为等比数列；
（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率
，当
取最大值时，计算此时所对应的
值和此时对应的
值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取
）
（结果保留整数，参考数据：
）
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【题目】甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B.甲的不同的选法种数为15
C.已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是
D.乙、丙两名同学都选物理的概率是
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【题目】某省新高考将实行“
”模式，“3”为全国统考科目语文数学外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学生物思想政治地理4个科目中选择两科.某考生已经确定“首选科目”为物理，如果他从“再选科目”中随机选择两科，则思想政治被选中的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图，已知
是圆柱
底面圆O的直径，底面半径
，圆柱的表面积为
，点
在底面圆
上，且直线
与下底面所成的角的大小为
.
(1)求
的长；
(2)求二面角
的大小的余弦值.
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【题目】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，若椭圆经过点
，且△PF1F2的面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为1的直线
与以原点为圆心，半径为
的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且
（
），当
取得最小值时，求直线的方程.
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【题目】一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的
个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为
，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.
（1）当
取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当
时，用
表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望.
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