【题目】如图所示,在四面体中,,平面平面,,且.
(1)证明:平面;
(2)设为棱的中点,当四面体的体积取得最大值时,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)根据面面垂直的性质得到平面,从而得到,利用勾股定理得到,利用线面垂直的判定定理证得平面;
(2)设,利用椎体的体积公式求得 ,利用导数研究函数的单调性,从而求得时,四面体的体积取得最大值,之后利用空间向量求得二面角的余弦值.
(1)证明:因为,平面平面,
平面平面,平面,
所以平面,
因为平面,所以.
因为,所以,
所以,
因为,所以平面.
(2)解:设,则,
四面体的体积 .
,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
故当时,四面体的体积取得最大值.
以为坐标原点,建立空间直角坐标系,
则,,,,.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得,
同理可得平面的一个法向量为,
则.
由图可知,二面角为锐角,故二面角的余弦值为.
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【题目】如上图所示,在正方体中, 分别是棱的中点, 的顶点在棱与棱上运动,有以下四个命题:
A.平面 ; B.平面⊥平面;
C. 在底面上的射影图形的面积为定值;
D. 在侧面上的射影图形是三角形.其中正确命题的序号是__________.
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【题目】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上,且椭圆的短轴长为2,分别为椭圆的左,右焦点,分别为椭圆的左,右顶点,设点在第一象限,且轴,连接交椭圆于点,直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若三角形的面积等于四边形的面积,求的值;
(Ⅲ)设点为的中点,射线(为原点)与椭圆交于点,满足,求的值.
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【题目】如图所示,某公园内有两条道路,,现计划在上选择一点,新建道路,并把所在的区域改造成绿化区域.已知, .
(1)若绿化区域的面积为1,求道路的长度;
(2)若绿化区域改造成本为10万元/,新建道路成本为10万元/.设(),当为何值时,该计划所需总费用最小?
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【题目】已知点在平行于轴的直线上,且与轴的交点为,动点满足平行于轴,且.
(1)求出点的轨迹方程.
(2)设点,,求的最小值,并写出此时点的坐标.
(3)过点的直线与点的轨迹交于.两点,求证.两点的横坐标乘积为定值.
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