【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在
处取得极值,不等式
对
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,证明不等式
.
【答案】(1)当时函数
在
上单调递减; 当
时函数在
上单调递减,在
上单调递增;(2)
;(3)详见解析
【解析】
试题(1)先求导,讨论导数的正负,导数正得增区间,导数负得减区间.在解不等式的过程中注意讨论的符号.(2)由(1)知函数的极值点是
,则
.可将
转化为
,令
,求导,讨论导数的符号,判断函数
的单调性,从而求其最小值.则
应小于等于函数
的最小值.(3)因为
,则
,
.则证明
.构造函数
,证此函数在
上单调递增即可.即证在
上
即可.
试题解析:(1)解
.
当时,
,从而
,
函数在
上单调递减;
当时,若
,则
,从而
,
若,则
,从而
,
函数在上单调递减,在
上单调递增.
(2)解 根据(1)函数的极值点是,若
,则
.
所以,即
,
由于,即
.
令,则
,
可知为函数
在
内唯一的极小值点,也是最小值点,故
,
所以的最小值是
,
故只要即可,
故的取值范围是
.
(3)证明不等式.
构造函数,
则,
可知函数在上
,
即函数在
上单调递增,由于
,
所以,所以
,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知等轴双曲线的两个焦点
、
在直线
上,线段
的中点是坐标原点,且双曲线经过点
.
(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程:①
;②
;③
.请推理判断哪个是等轴双曲线
的方程,并求出此双曲线的实轴长;
(2)现要在等轴双曲线上选一处
建一座码头,向
、
两地转运货物.经测算,从
到
、从
到
修建公路的费用都是每单位长度
万元,则码头应建在何处,才能使修建两条公路的总费用最低?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题,为了了解声音强度(单位:分贝)与声音能量
(单位:
)之间的关系,将测量得到的声音强度
和声音能量
(
,2,…,10)数据作了初步处理,得到如图散点图及一些统计量的值.
表中,
.
(1)根据散点图判断,与
哪一个适宜作为声音强度
关于声音能量
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据表中数据,求声音强度关于声音能量
的回归方程;
(3)当声音强度大于60分贝时属于噪音,会产生噪音污染,城市中某点共受到两个声源的影响,这两个声源的声音能量分别是
和
,且
.已知点
的声音能量等于声音能量
与
之和.请根据(1)中的回归方程,判断
点是否受到噪音污染的干扰,并说明理由.
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,抛物线
的准线被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,点分别是椭圆
的左顶点、左焦点直线
与椭圆
交于不同的两点
(
都在
轴上方).且
.证明:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,圆
经过椭圆
的两个焦点和两个顶点,点
在椭圆
上,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和点
的坐标;
(Ⅱ)过点的直线
与圆
相交于
、
两点,过点
与
垂直的直线
与椭圆
相交于另一点
,求
的面积的取值范围.
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