[题目]已知等轴双曲线的两个焦点.在直线上.线段的中点是坐标原点.且双曲线经过点．(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程:①,②,③．请推理判断哪个是等轴双曲线的方程.并求出此双曲线的实轴长,(2)现要在等轴双曲线上选一处建一座码头.向.两地转运货物．经测算.从到.从到修建公路的费用都是每单位长度万元.则码头应� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．

(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请推理判断哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；

(2)现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？

【答案】（1）实轴长为；（2）码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低

【解析】

（1）显然①的焦点不在直线上，不满足条件；对于②，显然点不在曲线上；对于③符合条件，联立可得顶点坐标，求出实轴长即可.

（2）由题意，实际问题可转化为在双曲线上求一点P,使最小，分析易得P位于第一象限，设双曲线的另一个焦点为,由双曲线定义可知，只需求的最小值即可.

(1)、双曲线的焦点在轴上，所以①不是双曲线的方程

双曲线不经过点，所以②不是双曲线的方程，所以③是等轴双曲线的方程,

等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上，

联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，，两顶点间距离为6，

所以双曲线的实轴长为

(2)所求问题即为：在双曲线求一点，使最小．

首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上

等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为

又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点，

设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：

所以，要求的最小值，只需求的最小值，直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为，

所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低

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