【题目】已知等轴双曲线:
的右焦点为
,
为坐标原点,过
作一条渐近线的垂线
且垂足为
,
.
(1)假设过点且方向向量为
的直线
交双曲线
于
、
两点,求
的值;
(2)假设过点的动直线
与双曲线
交于
、
两点,试问:在
轴上是否存在定点
,使得
为常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,试说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
(1)根据双曲线为等轴双曲线,可求出渐近线方程,再根据点为过
作一条渐近线的垂线
的垂足,以及
,可求出双曲线中
的值,借助双曲线中
,
,
的关系,得到双曲线方程.根据直线
的方向向量以及
点的坐标,可得直线
的方程,与双曲线方程联立,解出
,
的值,代入
中,即可求出
的值.
(2)先假设存在定点,使得
为常数,设出直线
的方程,与双曲线方程联立,解
,
,用含
的式子表示,再代入
中,若
为常数,则结果与
无关,求此时
的值即可.
(1)设右焦点坐标为,
,
双曲线为等轴双曲线,则渐近线为
,
由对称性可知,右焦点到两条渐近线距离相等,且
.
为等腰直角三角形,则由
又等轴双曲线中,
等轴双曲线
的方程为:
.
设,
,
,
为双曲线
与直线
的两个交点,
,直线
的方向向量为
,
直线
的方程为
,即
代入双曲线的方程,可得,
,
,
而
(2)假设存在定点,使得
为常数,
其中,,
,
,
为双曲线
与直线
的两个交点的坐标,
①当直线与
轴不垂直是,设直线
的方程为
,
代入双曲线的方程,可得
,
由题意可知,,则有
,
,
要使是与
无关的常数,当且仅当
,此时,
.
②当直线与
轴垂直时,可得点
,
,
若,
亦为常数.
综上可知,在轴上是否存在定点
,使得
为常数.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:万元)对年销售量
(单位:吨)和年利润
(单位:万元)的影响.对近六年的年宣传费
和年销售量
(
)的数据作了初步统计,得到如下数据:
年份 | ||||||
年宣传费 | ||||||
年销售量 |
经电脑模拟,发现年宣传费(万元)与年销售量
(吨)之间近似满足关系式
(
).对上述数据作了初步处理,得到相关的值如表:
(1)根据所给数据,求关于
的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润与
,
的关系为
若想在
年达到年利润最大,请预测
年的宣传费用是多少万元?
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
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【题目】某校高一举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为)作为样本(样本容量为
)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,已知得分在[50,60),[90,100]的频数分别为8,2.
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(2)估计本次竞赛学生成绩的中位数;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩在分以上(含
分)的学生中随机抽取
名学生,求所抽取的
名学生中至少有一人得分在
内的概率.
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【题目】已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9),在集合A中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数,十位数和百位数,记这个三位数为a,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=219,则I(a)=129,D(a)=921),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,则输出b的值为( )
A. 792 B. 693 C. 594 D. 495
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【题目】已知F为抛物线C:y2=2px(P>0)的焦点,过F垂直于x轴的直线被C截得的弦的长度为4.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点(m,0),且斜率为1的直线被抛物线C截得的弦为AB,若点F在以AB为直径的圆内,求m的取值范围.
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【题目】已知等轴双曲线的两个焦点
、
在直线
上,线段
的中点是坐标原点,且双曲线经过点
.
(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程:①
;②
;③
.请推理判断哪个是等轴双曲线
的方程,并求出此双曲线的实轴长;
(2)现要在等轴双曲线上选一处
建一座码头,向
、
两地转运货物.经测算,从
到
、从
到
修建公路的费用都是每单位长度
万元,则码头应建在何处,才能使修建两条公路的总费用最低?
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【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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