Question

【题目】过点与双曲线：有且只有一个公共点的直线共__________条.

Answer 1

【答案】4

【解析】

把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论．

解；双曲线方程为2x2﹣y2＝2，化为标准形式：1，

当k不存在时，直线为x＝1，与1的图象有且只有一个公共点，

当k存在时，直线为：y＝k（x﹣1）+2，代入双曲线的方程可得：

（2﹣k2）x2+（2k2﹣4k）x﹣k2+4k﹣6＝0，

（1）若2﹣k2＝0，k时，y＝（x﹣1）+2与双曲线的渐近线yx平行，

所以与双曲线只有1个公共点，

（2）k时，△＝（2k2﹣4k）2﹣4×（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）＝﹣32k+48＝0

即k，此时直线y（x﹣1）+2与双曲线相切，只有1个公共点．

综上过点P（1，2）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．

故答案为：4