Question

【题目】已知抛物线的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于 O的两点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线AB过点（8，0），求证：直线OA，OB的斜率之积为定值

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据抛物线方程和焦点坐标得，从而可得抛物线方程；（2）当斜率不存在时，求出交点坐标，从而得到；当斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，可得韦达定理的形式，列出，代入韦达定理，整理可得，从而可证得结论.

（1）抛物线的焦点坐标为

即 抛物线的方程为

（2）证明：①当直线的斜率不存在时，即

可得直线与抛物线交点坐标为：

②当直线的斜率存在时，设方程为，

联立方程组，消去得：

则：，

综合①②可知，直线，的斜率之积为定值