Question

【题目】已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则( )

A. 45B. 15C. 10D. 0

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据题意，由奇函数的性质可得（-x）+f（x）=0，又由g（x）=f（x-5）+x且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，可得f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，结合等差数列的性质可得f（a1-5）=-f（a9-5）=f（5-a9），进而可得a1-5=5-a9，即a1+a9=10，进而计算可得答案．

根据题意，函数y=f（x）为定义域R上的奇函数，
则有f（-x）+f（x）=0，
∵g（x）=f（x-5）+x，
∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，
即f（a1-5）+a1+f（a2-5）+a2+…+f（a9-5）+a9=45，
即f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，
f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）=0，
又由y=f（x）为定义域R上的奇函数，
则f（a1-5）+f（a9-5）=0，
即f（a1-5）=-f（a9-5）=f（5-a9），
∵f（x）在R上是单调函数，
∴a1-5=5-a9，
即a1+a9=10，
在等差数列中，a1+a9=10=2a5，
即a5=5，
则a1+a2+…+a9=9a5=45；
故选：A．