【题目】已知函数.
(Ⅰ) 若函数有零点, 求实数
的取值范围;
(Ⅱ) 证明: 当时,
.
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】试题分析:(I)对函数求导,可得函数单调性,并求得函数的最小值,若函数有零点,函数最小值小于零且在定义域范围有函数值大于零,解不等式可得的范围;(Ⅱ)将
代入不等式化简为
,可构造函数
利用导数判断单调性可知在
条件下
最小值为
,
最大值为
.可证命题.
试题解析:
(Ⅰ)法1: 函数的定义域为
.
由, 得
.
因为,则
时,
;
时,
.
所以函数在
上单调递减, 在
上单调递增.
当时,
.
当, 即
时, 又
, 则函数
有零点.
所以实数的取值范围为
.
法2:函数的定义域为
.
由, 得
.
令,则
.
当时,
; 当
时,
.
所以函数在
上单调递增, 在
上单调递减.
故时, 函数
取得最大值
.
因而函数有零点, 则
.
所以实数的取值范围为
.
(Ⅱ) 要证明当时,
,
即证明当时,
, 即
.
令, 则
.
当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递减, 在
上单调递增.
当时,
.
于是,当时,
①
令, 则
.
当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递增, 在
上单调递减.
当时,
.
于是, 当时,
②
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时,
.
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【题目】将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切,则实数λ的值为( )
A.﹣3或7
B.﹣2或8
C.0或10
D.1或11
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【题目】已知圆C:x2+y2﹣2x﹣2ay+a2﹣24=0(a∈R)的圆心在直线2x﹣y=0上.
(1)求实数a的值;
(2)求圆C与直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)相交弦长的最小值.
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【题目】已知点P(2,0),及⊙C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时,求直线l的方程;
(2)设过点P的直线与⊙C交于A、B两点,当|AB|=4,求以线段AB为直径的圆的方程.
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【题目】已知an=log(n+1)(n+2)(n∈N*).我们把使乘积a1a2a3…an为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( )
A.1024
B.2003
C.2026
D.2048
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【题目】定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数 .
(1)若f(x)是奇函数,求m的值;
(2)当m=1时,求函数f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(﹣∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(3)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的函数,求实数m的取值范围.
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