Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线的方程；

（2）若不等式 对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求导得，利用导数求得斜率为，而切点，由此求得切线方程，分别令，求得，代入后利用二次函数求最值的方法求得当时有最小值，由此求得切线方程为；（2）构造函数，利用的导数，讨论函数的单调区间与最值，由此求得实数的取值范围是.

试题解析：

（1）,切线斜率，切点为，所以切线的方程为，分别令 ，得切线与轴，轴的交点坐标为，，当，

即时， 取得最小值，但且，所以当时，取得最小值.此时，切线的方程为，即.

（2）设，则，①当时，因为在上单调递增，不符合题意.②

当，即时，在上恒成立，在

上单调递减，于是满足题意.③当，即时,由,可得，由,可得，在上单调递增，在上单调递减，，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是.