Question

【题目】已知圆C的方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）求m的取值范围；
（2）若圆C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2 ，求m的值；
（3）设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，得m＜5，

∴当m＜5时，曲线C表示圆

（2）解：∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，

∴圆心C（1，2），半径r= ，

∵圆心C（1，2）到直线3x+4y﹣6=0的距离d= =1，

又|MN|=2 ，由r2=d2+3，即5﹣m=1+3，

解得m=1

（3）解：假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，

由 ，

得2x2﹣8x+5+m=0，

∴△=64﹣8（m+5）=24﹣8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，

故m＜3，x1+x2=4，x1x2= ，

∴y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1= ﹣4+1= ，

∴x1x2+y1y2= + =m+2=0，

∴m=﹣2＜3，

故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=﹣2

【解析】（1）由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，由求出当m＜5时，曲线C表示圆；（2）由已知条件推导出圆心C（1，2），半径r= ，由此利用点到直线的距离公式及弦长公式，结合已知条件能求出m=1；（3）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则x1x2+y1y2=0，由 ，得2x2﹣8x+5+m=0，由此能求出存在实数m使得以AB为直径的圆过原点．