【题目】在等差数列{an}中,a1+a3=10,d=3.令bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1 , Tm , Tn成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:设等差数列{an}的公差为d,由a1+a3=10,d=3,得
,
解得a1=2,
所以an=2+3(n﹣1)=3n﹣1(n∈N+)
(2)解:由(1)知,an=3n﹣1.
所以bn= =
=
=
(
﹣
),
∴Tn= (
﹣
+
﹣
+…+
﹣
)=
(
﹣
)=
(3)解:假设否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列,
由(2)知,T1= ,Tm=
,Tn=
,
因为T1,Tm,Tn成等比数列,
所以( )2=
×
,即
=
,
整理,得
n(﹣3m2+6m+2)=5m2.(*)
①当m=2时,(*)式可化为2n=20,所以n=10.
②当m≥3时,﹣3m2+6m+2=﹣3(m﹣1)2+5≤﹣7<0.
又因为5m2>0,
所以(*)式可化为n= <0,
所以此时n无正整数解.
综上可知,存在满足条件的正整数m,n,此时m=2,n=10
【解析】(1)根据等差数列的通项公式求得首项a1的值,则易求数列{an}的通项公式;(2)利用拆项法求得数列{bn}的通项公式,则易求Tn;(3)假设否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1 , Tm , Tn成等比数列,结合等比数列的性质得到 =
,从而求得符合条件的m、n的值.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为﹣3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求过点A(2,2)的切线方程.
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【题目】设a∈R,函数f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若a=3,求函数f(x)在区间[0,4]上的最大值;
(2)若存在a∈(2,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数解,求实数t的取值范围.
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【题目】将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切,则实数λ的值为( )
A.﹣3或7
B.﹣2或8
C.0或10
D.1或11
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【题目】利用两角和与差的正弦、余弦公式证明:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α﹣β)];
cosαsinβ=[sin(α+β)﹣sin(α﹣β)];
cosαsinβ=[cos(α+β)+cos(α﹣β)];
sinαcosβ=[cos(α+β)﹣cos(α﹣β)].
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【题目】已知点P(2,0),及⊙C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时,求直线l的方程;
(2)设过点P的直线与⊙C交于A、B两点,当|AB|=4,求以线段AB为直径的圆的方程.
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