Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.

（Ⅰ）求椭圆的方程和点的坐标；

（Ⅱ）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为， 点P的坐标为.(Ⅱ).

【解析】分析：（I）由题意计算可得， ， 则椭圆的方程为， 结合几何性质可得点P的坐标为.

（II）由题意可知直线l2的斜率存在，设l2的方程为，与椭圆方程联立可得， 由弦长公式可得； 结合几何关系和勾股定理可得， 则面积函数， 换元求解函数的值域可得△ABC的面积的取值范围是．

详解：（I）设，，

可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，

由题意知，得，

由，得，

所以椭圆的方程为，

点P的坐标为.

（II）由过点P的直线l2与椭圆相交于两点，知直线l2的斜率存在，

设l2的方程为，由题意可知，

联立椭圆方程，得，

设，则，得，

所以；

由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为，即

圆心到l1的距离，又圆的半径，

所以，

，

由即，得，

，

设，则，，

当且仅当即时，取“＝”，

所以△ABC的面积的取值范围是．