【题目】设函数.
(1)当时,求函数
的零点个数;
(2)若,使得
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)利用的符号讨论函数的单调性,结合零点存在定理可得零点的个数.
(2)不等式有解等价于对任意
恒成立即
,构建新函数
,求出
后分
和
分类讨论可得实数
的取值范围.
解:(1),即
,
则,
令解得
.
当在
上单调递减;
当在
上单调递增,
所以当时,
.
因为,
所以.
又,
,
所以,
,
所以分别在区间
上各存在一个零点,函数
存在两个零点.
(2)假设对任意
恒成立,
即对任意
恒成立.
令,则
.
①当,即
时,且
不恒为0,
所以函数在区间
上单调递增.
又,所以
对任意
恒成立.
故不符合题意;
②当时,令
,得
;令
,得
.
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以,即当
时,存在
,使
,即
.
故符合题意.
综上可知,实数的取值范围是
.
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【题目】近年来,随着互联网的发展,诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展,为人们出行提供了便利,但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在省的发展情况,
省某调查机构从该省抽取了5个城市,分别收集和分析了网约车的
,
两项指标数
,数据如下表所示:
城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 | |
| 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
经计算得:,
,
.
(1)试求与
间的相关系数
,并利用
说明
与
是否具有较强的线性相关关系(若
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)建立关于
的回归方程,并预测当
指标数为7时,
指标数的估计值;
(3)若城市的网约车指标数
落在区间
之外,则认为该城市网约车数量过多,会对城市交通管理带来较大的影响,交通管理部门将介入进行治理,直至
指标数
回落到区间
之内.现已知2018年11月该城市网约车的
指标数为13,问:该城市的交通管理部门是否要介入进行治理?试说明理由.
附:相关公式:,
,
.
参考数据:,
.
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【题目】在四棱锥中,底面
是正方形,顶点
在底面的射影是底面的中心,且各顶点都在同一球面上,若该四棱锥的侧棱长为
,体积为4,且四棱锥的高为整数,则此球的半径等于( )(参考公式:
)
A. 2B. C. 4D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆
是以极坐标系中的点
为圆心,
为半径的圆,直线
的参数方程为
.
(1)求与
的直角坐标系方程;
(2)若直线与圆
交于
,
两点,求
的面积.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,圆
经过椭圆
的两个焦点和两个顶点,点
在椭圆
上,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和点
的坐标;
(Ⅱ)过点的直线
与圆
相交于
、
两点,过点
与
垂直的直线
与椭圆
相交于另一点
,求
的面积的取值范围.
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【题目】如果函数在定义域内存在区间[a,b],使
在[a,b]上的值域是[2a,2b],那么称
为“倍增函数”。
(I)判断=
是否为“倍增函数”,并说明理由;
(II)证明:函数=
是“倍增函数”;
(III)若函数=ln(
)是“倍增函数”,写出实数m的取值范围。(只需写出结论)
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