【题目】如果函数在定义域内存在区间[a,b],使
在[a,b]上的值域是[2a,2b],那么称
为“倍增函数”。
(I)判断=
是否为“倍增函数”,并说明理由;
(II)证明:函数=
是“倍增函数”;
(III)若函数=ln(
)是“倍增函数”,写出实数m的取值范围。(只需写出结论)
【答案】(I)见解析;(II)见证明;(III)<m<0
【解析】
(I)根据时,
判断出
为“倍增函数”.(II)首先利用导数判断出
为单调递增函数,构造函数
,利用导数求得函数
有且只有两个零点,进而判断出函数
是“倍增函数”.(III)
为增函数,且
为“倍增函数”,所以
,即
;所以方程
,化为
有两个不相等的实数根,且两根都大于零.即
,解得
.所以
的取值范围是
.
解:(I)=
是“倍增函数”,理由如下:
=
的定义域是R,且在[0,+
)上单调递增;
所以,当 [0,2]时,
∈[0,4],
所以,=
是“倍增函数”。
(II)=
的定义域是R。
当x>0时,=
>0,所以
在区间(0,+
)上单调递增。
设=
-2x=
,
=
。
设h(x)==
,
=
>0,
所以,h(x)在区间(-,+
)上单调递增。
又h(0)=-2<0,h(1)=e-1>0,
所以,存在唯一的∈(0,1),使得h(
)=
=0,
所以,当x变化时,与
的变化情况如下表:
x | (- | ( | |
- | 0 | + | |
↘ | ↗ |
因为g(1)=e-3<0,g(2)=>0,
所以,存在唯一的∈(1,2),使得
=0,
又=0,所以函数
只有两个零点,即0与
。
所以=0,
=2
。
结合在区间(0,+
)上单调递增可知,当x∈[0,
]时
的值域是[0,2
]。
所以,令[a,b]=[0,],
=
是“倍增函数”。
(III)<m<0。
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【题目】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量
的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量
的值依次为
)建立模型①:
;根据2010年至2016年的数据(时间变量
的值依次为
)建立模型②:
.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
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【题目】已知等腰三角形,
,
,
、
分别为
,
的中点,将
沿
折到
的位置,
,取线段
的中点为
.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角 的余弦值.
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【题目】分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形。分形是一种具有自相似特性的现象,图象或者物理过程。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构。也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形则当时,该黑色三角形内共去掉( )个小三角形
A. 81 B. 121 C. 364 D. 1093
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【题目】已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为的等腰三角形,侧视图为直
角三角形,则该三棱锥的表面积为____,该三棱锥的外接球体积为____.
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【题目】(2017高考新课标Ⅲ,理19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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