Question

【题目】已知等腰三角形，，， 、 分别为 ， 的中点，将 沿 折到 的位置， ，取线段 的中点为 .

（1）求证： 平面 ；

（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：(1)取中点，连接 ，，由三角形中位线定理，结合 、 分别为 ， 的中点可得四边形为平行四边形，，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以为 轴建立空间直角坐标系，分别利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角 的余弦值.

详解：(1)证明：取中点，连接 ，

∵，

∴

又∵

∴

四边形为平行四边形

∴

∵ 面， 面

∴ 面

∵面 面 ，面 面

∵ ，面

∴ 面

∵ ， 面

∴ ，

又∵

∴ ， ， 两两互相垂直

（2）如图所示,分别以为 轴建立空间直角坐标系

则

设平面,平面的法向量分别为

则

取

取

二面角的平面角的余弦值为.