【题目】偶函数定义域为
,其导函数是
,当
时,有
,则关于
的不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析:根据题意,设g(x)=,结合题意求导分析可得函数g(x)在(0,
)上为减函数,结合函数的奇偶性分析可得函数g(x)为偶函数,进而将不等式
转化为g(x)>g(
),结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得x的取值范围.
详解:由当时,有
,可得:
cosx+f(x)sinx<0
根据题意,设g(x)=,其导数为g′(x)=
,
又由时,有
cosx+f(x)sinx<0,则有g′(x)<0,
则函数g(x)在(0,)上为减函数,
又由f(x)为定义域为的偶函数,
则g(﹣x)==
=g(x),则函数g(x)为偶函数,
>
f(
)
>
g(x)>g(
),
又由g(x)为偶函数且在(0,)上为减函数,且其定义域为
,
则有|x|<,
解可得:﹣<x<0或0<x<
,
即不等式的解集为;
故选:C.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,圆
经过椭圆
的两个焦点和两个顶点,点
在椭圆
上,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和点
的坐标;
(Ⅱ)过点的直线
与圆
相交于
、
两点,过点
与
垂直的直线
与椭圆
相交于另一点
,求
的面积的取值范围.
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【题目】近年,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,某省采用3+3模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人,女生450人)中,采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.
(1)已知抽取的名学生中含男生55人,求
的值;
(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的
列联表. 请将列联表补充完整,并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
(3)在抽取到的女生中按(2)中的选课情况进行分层抽样,从中抽出9名女生,再从这9名女生中抽取4人,设这4人中选择“地理”的人数为,求
的分布列及期望.
附:,
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【题目】如果函数在定义域内存在区间[a,b],使
在[a,b]上的值域是[2a,2b],那么称
为“倍增函数”。
(I)判断=
是否为“倍增函数”,并说明理由;
(II)证明:函数=
是“倍增函数”;
(III)若函数=ln(
)是“倍增函数”,写出实数m的取值范围。(只需写出结论)
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【题目】给出下列命题:
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;
⑤“若,则
的解集为
”的逆命题.
其中真命题是___________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
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【题目】已知椭圆具有如下性质:若、
是椭圆
上关于原点对称的两个点,点
是椭圆上的任意一点,当直线
、
的斜率都存在,并记为
、
时,则
与
之积是与点
位置无关的定值.试写出双曲线
具有的类似的性质,并加以证明.
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【题目】已知斜率为1的直线与椭圆
交于
,
两点,且线段
的中点为
,椭圆
的上顶点为
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,若直线
与
的斜率之和为2,证明:
过定点.
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【题目】某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为:(
为正常数,
为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,那么要能够按规定排放废气,至少还需要过滤( )
A. 小时B.
小时C. 5小时D.
小时
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