Question

【题目】已知椭圆具有如下性质：若、是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上的任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，则与之积是与点位置无关的定值．试写出双曲线具有的类似的性质，并加以证明．

Answer 1

【答案】若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．

【解析】

类似的性质为：若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：

设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1.

又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝，kPN＝，得kPM·kPN＝·＝，

将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kPM·kPN＝.