Question

已知A、B为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左右顶点，F为椭圆的右焦点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l：x=m（m＞2）于M、N两点，l交x轴于C点．
（Ⅰ）当PF∥l时，求直线AM的方程；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过点F，若存在，求出实数m的值；，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）对任意给定的m值，求△MFN面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出F点的坐标，由PF∥l求出P点坐标，直接利用两点式写出直线AM的方程；
（Ⅱ）设出点P、M、N的坐标，由MF和NF垂直得到M和N点坐标的关系，再由A、P、M和B、P、N分别共线得到M的坐标与P的坐标及N的坐标与P的坐标的关系式，三个关系式整理后得到矛盾的式子，说明不存在实数m，使得以MN为直径的圆过点F；
（Ⅲ）结合（Ⅱ），把|MN|用含有P点的坐标表示，得到的几何意义是|MN|是直线CP斜率绝对值的倒数的3倍，当CP与椭圆相切时斜率的绝对值最大，倒数最小，此时面积最小，然后设出过C且与椭圆相切的直线方程，由判别式等于0得到直线斜率k与m的关系，把P点的坐标用m表示，得到|MN|，则三角形MFN面积的最小值可求．

解答：解：（Ⅰ）当PF平行于L时，PF垂直于x轴，则A（-2，0），P（1，

3

2

），
又因为A、P、M共线，所以用A、P两点坐标求得直线AM的方程为：

y-0

3 2 -0

=

x+2

1+2

．
即x-2y+2=0；
（Ⅱ）设存在，设P（x₀，y₀），M（m，y₁），N（m，y₂）．
由MF垂直于NF可得（m-1）²+y₁y₂=0（*）
又由MPA三点共线可以算得：y1=

y0(m+2)

x0+2

①
由NPB三点共线可得y2=

y0(m-2)

x0-2

②
将①②两式带入*式可得：(m-1)2+

y02(m2-4)

x02-4

=0．
又因为（x₀，y₀）在椭圆上，得x02=4(1-

y02

3

)，代入上式化简得m²=4．
∵m＞2，∴不存在实数m，使得以MN为直径的圆过点F；
（Ⅲ）由（Ⅱ）计算得|MN|=|y₁-y₂|=|

4y0(x0-m)

x02-4

|
=3|

m-x0

y0

|，其几何意义是直线CP斜率绝对值的倒数的3倍，
当CP与椭圆相切时斜率的绝对值最大，倒数最小，此时面积最小，
设过C（m，0）且与椭圆切于P点的直线为y=k（x-m），
联立

y=k(x-m) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8mk²+4k²m²-12=0．
由△=（-8mk²）²-4（3+4k²）（4k²m²-12）=0，得k2=

3

m2-4

．
当直线与椭圆相切时，切点P的横坐标x0=

4mk2

3+4k2

=

4m• 3 m2-4

3+4• 3 m2-4

=

4

m

．
纵坐标y0=±

3(m2-4)

m

．
所以|MN|=3|

m-x0

y0

|=3|

m- 4 m

3(m2-4) m

|=

3(m2-4)

．
所以△MFN面积为S=

1

2

|MN|•(m-1)=

1

2

3(m2-4)•(m-1)2

．

点评：本题考查了直线的一般是方程，考查了三角形的面积公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查了学生综合处理问题解决问题的能力，考查了学生的运算能力，是难题．