Question

已知F₁，F₂为椭圆x2+

y2

2

=1上的两个焦点，A，B是过焦点F₁的一条动弦，则△ABF₂的面积的最大值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

• C、1
• D、2

  2

Answer 1

分析：设出AB方程代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，表示出三角形的面积，换元，即可得出结论．

解答：解：∵椭圆x2+

y2

2

=1，
∴F₁（0，1），F₂（0，-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程为y=kx+1，
代入椭圆方程，整理可得（2+k²）x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=

-2k

2+k2

，x1x2=-

1

2+k2

，
∴△ABF₂的面积为S=

1

2

|F₁F₂||x₁-x₂|=

( -2k 2+k2 )2+ 4 2+k2

=

8(k2+1) (2+k2)2

，
令t=k²+1（t≥1），则S=

8t (t+1)2

=

8 ( 1 t + 1 t2 )2

≤

2

，当且仅当t=1，即k=0时取等号，
∴△ABF₂的面积的最大值为

2

．
故选B．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．