Question

已知F₁、F₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，B为椭圆短轴的一个端点，

BF1

•

BF2

≥

1

2

F1F2

2则椭圆的离心率的取值范围是

（0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：写出点B，F₁，F₂的坐标，利用向量的数量积公式得到b²≥3c²，再利用椭圆中三个参数的关系得到a²≥4c²，求出离心率的范围．

解答：解：根据题意得B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0）
因为

BF1

•

BF2

≥

1

2

F1F2

2
所以b²≥3c²
又因为b²=a²-c²
所以a²≥4c²
所以

c

a

≤

1

2

故答案为（0，

1

2

]

点评：本题考查椭圆的性质，求其离心率即求出椭圆中三个参数的范围即可，是一道基础题．