Question

（2011•绵阳一模）现有若干枚形状完全相同的硬币，已知其中一枚略重，其余各枚重量均相同，要求使用天平（不用砝码），将略重的那枚硬币找出来．小王的方案是：首先任取两枚放在天平两侧进行称量，若天平不平衡，则重的那边为略重的那枚硬币：若天干平衡，将两枚都取下，从剩下的硬币中再任取两枚放在天平两侧进行称量，如此进行下去，直到找到那枚略重的硬币为止．若小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬币的概率为

2

9

．
（I ）请问共有多少枚硬币？
（II）设ξ为找到略重那枚硬币时己称量的次数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬币的概率为

2

9

建立等式，解之即可；
（II）ξ的取值为1，2，3，4，然后根据等可能事件的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）设共有n枚硬币，根据题意得
P₁=

C 1 n-1

C 2 n

=

2

9

，解得n=9．…（2分）
（Ⅱ）ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=

C 1 8

C 2 9

=

2

9

，P（ξ=2）=

C 2 8

C 2 9

•

C 1 6

C 2 7

=

2

9

，P（ξ=3）=

C 3 8

C 2 9

•

C 2 6

C 2 7

•

C 1 4

C 2 5

=

2

9

P（ξ=4）=

C 2 8

C 2 9

•

C 2 6

C 2 7

•

C 2 4

C 2 5

•1=

3

9

．…（10分）
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	2 9	2 9	2 9	3 9

∴Eξ=1×

2

9

+2×

2

9

+3×

2

9

+4×

3

9

=

8

3

．…（12分）

点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列和数学期望，以及等可能事件的概率，同时考查了计算能力，属于中档题．