Question

【题目】如图，已知在三棱台中，，，.

（1）求证：；

（2）过的平面分别交，于点，，且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为，几何体为棱柱，求的长.

提示：台体的体积公式（，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

（1）在中，利用勾股定理，证得，又由题设条件，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到；

（2）设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为，根据棱台的体积公式，列出方程求得，得到，即可求解.

（1）由题意，在中，，，

所以，可得，

因为，可得.

又由，，平面，所以平面，

因为平面，所以.

（2）因为，可得，

令，，

设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为，

则，整理得，

即，解得，即，

又由，所以.