Question

10．已知关于x的方程$\frac{lg（x-a）}{lgx-lg3}$=2．
（1）当a=1时，解此方程；
（2）若方程仅有一个实数解，求a的取值的范围，并求此解．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，方程$\frac{lg（x-1）}{lgx-lg3}$=2可化为x-1=$\frac{{x}^{2}}{9}$，解得答案；
（2）方程$\frac{lg（x-a）}{lgx-lg3}$=2可化为$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0，结合原式中x＞0，x＞a，x≠3，分类讨论满足条件的a的取值的范围，可得答案．

解答 解：（1）当a=1时，方程$\frac{lg（x-1）}{lgx-lg3}$=2可化为：lg（x-1）=2lgx-2lg3=lg$\frac{{x}^{2}}{9}$，
则x-1=$\frac{{x}^{2}}{9}$，
解得：x=$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$，或x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$
（2）方程$\frac{lg（x-a）}{lgx-lg3}$=2可化为：lg（x-a）=2lgx-2lg3=lg$\frac{{x}^{2}}{9}$，
即x-a=$\frac{{x}^{2}}{9}$，即$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0．
若x=3，满足$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0，则a=2，此时方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+2=0还有另一解x=6满足条件；
若a＜0，则方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0两根异号，其中负根不能做为真数舍去，另一解为：x=$\frac{9+3\sqrt{9-4a}}{2}$，满足条件；
若a=0，则方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x=0有两根，x=9，x=0，其中0不能做为真数舍去，满足条件；
若a=$\frac{9}{4}$，则方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0有两等根，x=$\frac{9}{2}$，满足条件；
若0＜a＜$\frac{9}{4}$，且a≠2，则方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0有两相异正根，均满足原方程不合题意；
若a＞$\frac{9}{4}$，则方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0无解，则原方程也无解不合题意；
综上所述，a≤0，或a=$\frac{9}{4}$，或a=2

点评 本题考查的知识点是对数方程的解法，分类讨论思想，难度较大，分类复杂．