Question

【题目】 ．
（1）若 时， ，求cos4x的值；
（2）将 的图象向左移 ，再将各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得y=g（x），若关于g（x）+m=0在区间 上的有且只有一个实数解，求m的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（ sin2x，cos2x）， =（cos2x，﹣cos2x），

∴f（x）= +

= sin2xcos2x﹣cos22x+

= sin4x﹣ cos4x﹣ +

=﹣cos（4x+ ）=﹣ ，

∴cos（4x+ ）= ；

又 时，4x+ ∈（ ，2π），

∴sin（4x+ ）=﹣ =﹣ ，

∴cos4x=cos[（4x+ ）﹣ ]

=cos（4x+ ）cos +sin（4x+ ）sin

= × +（﹣ ）×

= ；

（2）解：由（1）知，f（x）= sin4x﹣ cos4x=sin（4x﹣ ），

将f（x）的图象向左平移 个单位，得y=sin[4（x+ ）﹣ ]=sin（4x+ ）的图象；

再将y各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得y=sin（2x+ ）的图象；

则y=g（x）=sin（2x+ ）；

当x∈ 时，2x+ ∈[ ， ]，

画出函数g（x）的图象，如图所示；

则g（x）+m=0在区间 上的有且只有一个实数解时，

应满足﹣ ≤﹣m＜ 或﹣m=1；

即﹣ ＜m≤ ，或m=﹣1．

【解析】（1）由题意，根据平面向量的数量积运算求出cos（4x+ ）的值，再利用三角恒等变换求出cos4x的值；（2）由（1）知f（x）的解析式，利用图象平移和变换得出g（x）的解析式，画出函数g（x）的图象，结合图象求出m的取值范围．