Question

【题目】已知向量 =（1，2）， =（cosα，sinα），设 = +t （t为实数）．
（1）若 ，求当| |取最小值时实数t的值；
（2）若 ⊥ ，问：是否存在实数t，使得向量 ﹣ 和向量 的夹角为 ，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为a= ，所以 =（ ）， = ，

则 = = = =

所以当 时， 取到最小值，最小值为 ．

（2）解：由条件得cos45°= ，

又因为 = = ， = = ，

（ ）（ ）=5﹣t，则有 = ，且t＜5，

整理得t2+5t﹣5=0，所以存在t= 满足条件．

【解析】（1）先把a= 代入求出向量 的坐标，再把 转化为 = ，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出 的最小值以及实数t的值；（2）先利用向量垂直求出 以及 和（ ）（ ），代入cos45°= ，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．
【考点精析】掌握数量积表示两个向量的夹角是解答本题的根本，需要知道设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．