Question

设点P（x，y）满足条件

x≤0 y≥0 y≤2x+2

，点Q（a，b）（a≤0，b≥0）满足

OP

•

OQ

≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,平面向量数量积的运算

专题：

分析：由已知中在平面直角坐标系中，点P（x，y），则满足

OP

•

OQ

≤1的点Q的坐标满足

-a≤1 2b≤1 a≤0，b≥0

，画出满足条件的图形，即可得到点Q的轨迹围成的图形的面积．

解答： 解：∵

OP

•

OQ

≤1，
∴ax+by≤1，
∵作出点P（x，y）满足条件

x≤0 y≥0 y≤2x+2

的区域如图，
且点Q（a，b）满足

OP

•

OQ

≤1恒成立，
只须点P（x，y）在可行域内的角点处：A（-1，0），B（0，2），ax+by≤1成立即可，
∴

-a≤1 2b≤1 a≤0，b≥0

，即

a≥-1 b≤ 1 2 a≤0，b≥0

，
它表示一个长为1宽为

1

2

的矩形，其面积为：

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．