Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别为PB，BC的中点．以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立如图空间直角坐标系．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为，所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由题意可得：，再求出平面CMN的一个法向量利用向量的有关运算，求出两个向量的夹角，进而转化为线面角．
解答：解：建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．
（Ⅰ）证明：因为，
所以，
所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由题意可得：，
设=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，，，
所以，，
所以可得．
因为，
所以SN与平面CMN所成角为45°
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用空间向量的有关知识解决空间中线面、线线问题，以及空间角等问题．