Question

（2009•河西区二模）如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正视图为Rt△PAC，AC=2

6

，PA=4，俯视图也为直角三角形，另一直角边长为2

2

．
（Ⅰ）画出侧视图并求侧视图的面积；
（Ⅱ）证明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直线PC与底面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由题意，可得AP、AC、AB两两垂直，因此侧视图的形状就是△PAB，根据△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，作出侧视图如图所示，结合题中数据不难得到它的面积；
（II）根据线面垂直的判定与性质，证出AC⊥面PAB，结合AC是平面PAC内的直角，证出面PAC⊥面PAB；
（III）由PA⊥面ABC，得∠PCA为直线PC与底面ABC所成的角，然后在Rt△PAC中，算出PC的长，利用三角的定义算出cos∠PCA=

15

5

，即得直线PC与底面ABC所成角的余弦值．

解答：解：（I）根据题意，侧视图的形状就是△PAB，因此作出侧视图如右图所示
∵侧视图是一个高等于4，底等于2

2

的直角三角形
∴侧视图的面积S=

1

2

×4×2

2

=4

2

；
（Ⅱ）∵PA⊥面ABC，AC?面ABC，
∴PA⊥AC，
又∵由俯视图知AB⊥AC，PA∩AB=A，
∴AC⊥面PAB
∵AC?面PAC，∴面PAC⊥面PAB
（Ⅲ）∵PA⊥面ABC，∴∠PCA为直线PC与底面ABC所成的角
∵在Rt△PAC中，PA=4，AC=2

6

，
∴PC=

PA2+AC2

=2

10

，
可得cos∠PCA=

AC

PC

=

2 6

2 10

=

15

5

，
即直线PC与底面ABC所成角的余弦值等于

15

5

．

点评：本题给出三棱锥的三视图，求一个侧面的面积并证明面面垂直．着重考查了三视图的理解与认识面面垂直的判定与性质和线面角的定义与求法等知识，属于中档题．