Question

（2009•黄浦区二模）已知三棱锥P-ABC的棱长都是2，点D是棱AP上不同于P的点．
（1）试用反证法证明直线BD与直线CP是异面直线．
（2）求三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC．

Answer 1

分析：（1）假设BD与CP不是异面直线，即BD与CP都在平面α上，从而可得出点A、B、C、P都在平面α上，这与P-ABC是三棱锥矛盾，故假设不成立，得证；
（2）求三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC．选△ABC为底，故关键是求出底面上的高，为此利用底面三角形是正三角形，可求．

解答：解：（1）证明：（反证法）假设BD与CP不是异面直线．（2分）
设BD与CP都在平面α上．∵P∈α，D∈α，∴PD?α．又A∈PD，∴A∈α．
∴点A、B、C、P都在平面α上，这与P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾，于是，假设不成立．（5分）
所以直线BD与CP是异面直线．（6分）
（2）设锥顶点P在底面的射影为O．∵P-ABC的棱长都是2，∴△ABC是正三角形．
∴AO=BO=CO(=

PA2-PO2

)，
即O为底面三角形的中心，因此P-ABC为正三棱锥．连接BO并延长交AC于E，则BE⊥AC．
∵AB=BC=AC=PB=2，∴BE=ABsin60°=

3

．　　　　　　　　　　（8分）
∴BO=

2 3

3

，进一步可得PO=

PB2-BO2

=

4- 4 3

=

2 6

3

．　　 　（10分）
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC•PO
=

1

3

•

2 6

3

•

1

2

•2•2•sin60°
=

2 2

3

．                        　　 　　 　　　 　 　（12分）

点评：本题的考点是反证法，主要考查反证法证明异面直线问题，关键是利用反证法的步骤，恰当反设，通过推理论证引出矛盾，考查三棱锥体积的计算，关键是选好底面，求出高．