Question

已知函数f(x)=5-4sin2(

π

4

+x)+2

3

cos2x，且给定条件p：x＜

π

4

或x＞

π

2

．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；     
（2）在￢p的条件下，求f（x）的值域；
（3）若条件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把给出的函数先降幂再化积，然后运用复合函数的单调性求减区间；
（2）根据给出的条件p得到￢p：

π

4

≤x≤

π

2

，代入函数解析式后求值域；
（3）把条件q整理后得到f（x）的范围，由￢p是q的充分条件，说明（2）中求出的函数值域是条件q得到的f（x）的范围的子集，比较区间端点值可得m的范围．

解答：解：（1）f（x）=5-4sin2(

π

4

+x)+2

3

cos2x=5-2[1-cos(

π

2

+2x)]+2

3

cos2x
=-2sin2x+2

3

cos2x+3=-2(sin2x-

3

cos2x)+3=-4sin(2x-

π

3

)+3
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5

12

π(k∈Z)．
所以原函数的单调减区间为{x|kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5

12

π，k∈Z}；
（2）由于给定条件p：x＜

π

4

或x＞

π

2

．
则￢p：

π

4

≤x≤

π

2

，所以

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π，所以-1≤-4sin(2x-

π

3

)+3≤2．
所以函数f（x）的值域为[-1，2]；
（3）由-2＜f（x）-m＜2，即m-2＜f（x）＜m+2，
又￢p是q的充分条件，即当-1≤f（x）≤2时，必有m-2＜f（x）＜m+2，
所以

m-2＜-1 m+2＞2

，解得：0＜m＜1．
所以实数m的取值范围是（0，1）．

点评：本题考查了复合命题的真假，考查了三角函数中的恒等变换的应用，本题考查了数学转化思想，解答（3）的关键是把充分条件问题转化为集合间的关系求解，此题为中档题．