Question

已知函数f(x)=

(5-2a)x-1 (x＜1) ax (x≥1)

（a＞0，且a≠1）满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，则实数a的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，根据函数单调性的定义知函数为单调增函数，利用分段函数的单调性解决即可．

解答：解：∵对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立
即对任意x₁≠x₂，若x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增
∴5-2a＞0 且a＞1
∴1＜a＜

5

2

又函数f（x）在R上单调递增，而分段函数在x=1处（5-2a）x-1取最大值，在x=1处a^x 取最小值
∴（5-2a）-1≤a
∴a≥

4

3

故a的最小值为

4

3

点评：本题考查函数单调性的定义与变式，以及分段函数单调性问题，解题的关键是单调性定义的理解，属于基础题．