Question

函数f（x）满足f（-1）=

1

4

．对于x，y∈R，有4f(

x+y

2

)f(

x-y

2

)=f(x)+f(y)，则f（-2012）等于（　　）

Answer 1

分析：利用赋值法，确定f（0），f（1）的值，确定函数是以4为周期的周期函数，即可求得结论．

解答：解：令y=x，则4f（x）f（0）=2f（x），∴f（0）=

1

2

令y=-x，则4f（0）f（x）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=f（x），∴f（1）=

1

4

．
令

x+y

2

=m，

x-y

2

=n，则4f（m）f（n）=f（m+n）+f（m-n）
令n=-1，则4f（m）f（-1）=f（m-1）+f（m+1），∴f（m+1）=f（m）-f（m-1）
∴f（2）=f（1）-f（0）=

1

4

-

1

2

=-

1

4

，f（3）=f（2）-f（1）=-

1

4

-

1

4

=-

1

2

，f（4）=f（3）-f（2）=-

1

4

f（5）=f（4）-f（3）=

1

4

，f（6）=f（5）-f（4）=

1

2

，f（7）=f（6）-f（5）=

1

4

，
f（8）=f（7）-f（6）=-

1

4

，…
即函数是以6为周期的周期函数，
∴f（-2012）=f（-336×6+4）=f（4）=-

1

4

故选A．

点评：本题考查函数的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．