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以椭圆的一个顶点为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形,试问:(1)这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在,说明理由。(2)这样的等腰直角三角形若存在,最多有几个?

(1)存在,;(2)存在,最多有个.

解析试题分析:(1)这样的等腰直角三角形存在.直线y=x+1与直线y=-x+1满足题意;
(2)设出CA所在的直线方程,代入椭圆的方程并整理,求出|CA|,同理求出|CB|,由|CA|=|CB|得(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,讨论方程根的情况,即可得出结论.
试题解析:(1)这样的等腰直角三角形存在。因为直线与直线垂直,且关于轴对称,所以直线与直线是一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。
(2)设两点分别居于轴的左,右两侧,设的斜率为,则所在的直线方程为,代入椭圆的方程并整理得的横坐标为
同理可得,所以由

时,(1)的解是无实数解;
时,(1)的解是的解也是;当时,(1)的解除外,方程有两个不相等的正根,且都不等于,故(1)有 个正根。
所以符合题意的等腰直角三角形一定存在,最多有个。
考点:(1)椭圆的性质;(2)直线与圆锥曲线的应用.

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