如图,直线,抛物线
,已知点
在抛物线
上,且抛物线
上的点到直线
的距离的最小值为
.
(1)求直线及抛物线
的方程;
(2)过点的任一直线(不经过点
)与抛物线
交于
、
两点,直线
与直线
相交于点
,记直线
,
,
的斜率分别为
,
,
.问:是否存在实数
,使得
?若存在,试求出
的值;若不存在,请说明理由.
(1)直线的方程为
,抛物线
的方程为
.(2)存在且
解析试题分析:
(1)把点P的坐标带入抛物线方程即可求出抛物线方程,而直线l方程的求解有两种方法,法1,可以考虑求出既与抛物线相切,又与直线l平行的直线,该直线与直线l的距离即为抛物线上的点到直线l的最短距离,进而可以求的相应的b值。法二,可以设抛物线上任意一点为,列出点
到直线l的距离公式,再利用二次函数的最值即可得到相应的b值。
(2)直线AB经过点Q且不经过P,所以直线AB斜率存在且利用点斜式设出直线方程,联立直线与抛物线方程,得到关于A,B横坐标或者纵坐标的韦达定理,进而利用AB直线的斜率表示PA,PB直线的斜率,再联立直线AB与直线l,用AB直线斜率表示PM直线的斜率,得到关于AB直线斜率的表达式,带入
即可求的
的值.
试题解析:
(1)(法一)点
在抛物线
上,
. 2分
设与直线平行且与抛物线
相切的直线
方程为
,
由 得
,
,
由
,得
,则直线
方程为
.
两直线
、
间的距离即为抛物线
上的点到直线
的最短距离,
有
,解得
或
(舍去).
直线
的方程为
,抛物线
的方程为
. 6分
(法二)点
在抛物线
上,
,抛物线
的方程为
. 2分
设为抛物线
上的任意一点,点
到直线
的距离为
,根据图象,有
,
,
,
的最小值为
,由
,解得
.
因此,直线的方程为
,抛物线
的方程为
. 6分
(2)直线
的斜率存在,
设直线
的方程为
,即
,
由 得
,
设点、
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
以椭圆的一个顶点
为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形
,试问:(1)这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在,说明理由。(2)这样的等腰直角三角形若存在,最多有几个?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,椭圆C:+
=1的焦点在x轴上,左右顶点分别为A1,A,上顶点为B,抛物线C1,C2分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1与C2相交于直线y=
x上一点P.
(1)求椭圆C及抛物线C1,C2的方程.
(2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M,N,已知点Q(-,0),求
·
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比是
∶1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B,求证:直线AB的斜率为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设
=t
,求实数t的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心为原点
,离心率
,其一个焦点在抛物线
的准线上,若抛物线
与直线
相切.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆
上运动时,设动点
的运动轨迹为
.若点
满足:
,其中
是
上的点,直线
与
的斜率之积为
,试说明:是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,椭圆的离心率为
,
轴被曲线
截得的线段长等于
的短轴长。
与
轴的交点为
,过坐标原点
的直线
与
相交于点
,直线
分别与
相交于点
。
(1)求、
的方程;
(2)求证:。
(3)记的面积分别为
,若
,求
的取值范围。
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com