Question

9．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁分别是棱AD、AA₁的中点，F是AB的中点．
（1）证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）求异面直线EE₁和C₁F所成的角．

Answer 1

分析 （1）证明平面FCC₁∥平面ADD₁A₁，从而得出EE₁∥平面FCC₁；
（2）连接AD₁交A₁D于点O，则可证明AD₁∥FC₁，EE₁∥A₁D，故而∠A₁OA即为所求角．

解答 证明（1）∵梯形ABCD为等腰梯形，F为AB的中点，
∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥CF，
又∵AD?平面ADD₁A，∴FC∥平面ADD₁A，
∵CC₁∥DD₁且 DD₁?ADD₁A₁，∴CC₁∥平面ADD₁A，
又∵CC₁∩FC=C且CC₁?平面CC₁F，FC?平面CC₁F，
∴平面CC₁F∥平面A₁ADD₁．
又∵EE₁?A₁ADD₁，
∴EE₁∥平面FCC₁．
（2）连接AD₁，A₁D，两直线交于点O．
∵D₁C₁与AF平行且相等，∴D₁AFC₁为平行四边形  D₁A∥FC₁
又∵E₁E为三角形A₁AD的中位线∴EE₁∥A₁D
则角A₁OA为所求异面直线的夹角．
∵DD₁⊥AD，AD=DD₁=2，
四边形A₁ADD₁为正方形，
则∠A₁OA=90°，
∴EE₁与C₁F所成的角为90°．

点评 本题考查了线面平行的判定定理，异面直线所成的角，属于中档题．