Question

 (本小题满分12分)

已知函数:.

(1) 当时①求的单调区间;

②设,若对任意,存在,使,求实数取值范围.

(2) 当时,恒有成立,求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) ①在(0,1)上是减函数,在(1,3)上是增函数,(3，+∞)上是减函数.② (2)

【解析】

试题分析：(1) ①当时,,

 

由得,得

∴在(0,1)上是减函数,在(1,3)上是增函数,(3，+∞)上是减函数.   ………3分

②“对任意,存在,使”等价于“函数在上的最小值不小于在上的最小值.         ………4分

由①知:在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数,所以,

而时,

∴ 解得: ,故实数取值范围是      ………6分

（2），

令（）.则.………7分

①当时,对,有,在上递减,

故,适合题意；  ………9分

②当时,,对,有,故在上

递增,任取,有,不合题意；     ………11分

③当时,,不合题意.

综上知,所求的取值范围是.    ………12分

考点：导数的运算；函数的单调性与导数的关系；函数的最值与导数的关系。

点评：由于导数的实际应用价值较高，因而常成为考试热点。另分步讨论问题也常出现在后面的大题中。