Question

【题目】在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b）满足f（x0）= ，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．若函数f（x）=﹣x2+mx+1是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是

Answer 1

【答案】（0，2）
【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程﹣x2+mx+1= 在（﹣1，1）内有实数根．
即﹣x2+mx+1=m在（﹣1，1）内有实数根．
即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．
又1（﹣1，1）
∴x=m﹣1必为均值点，
即﹣1＜m﹣1＜10＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是（0，2）．
所以答案是：（0，2）
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．