Question

函数y=log

1

2

(cos2x-sin2x)的单调递增区间是（　　）

• A．[kπ，kπ+

  π

  2

  )(k∈z)
• B．[kπ，kπ+

  π

  4

  ](k∈z)
• C．[kπ，kπ+

  π

  4

  )(k∈z)
• D．(kπ-

  π

  4

  ，kπ](k∈z)

Answer 1

分析：令t=cos²x-sin²x=cos2x，则函数y=log

1

2

cos2x．令cos2x＞0，求得函数y的定义域，本题即求cos2x在定义域上的减区间．结合余弦函数的图象特征，
可得结果．

解答：解：令t=cos²x-sin²x=cos2x，则函数y=log

1

2

cos2x．
令cos2x＞0，可得2kπ-

π

2

＜2x＜2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

4

＜x＜kπ+

π

4

，故函数y的定义域为（kπ-

π

4

，kπ+

π

4

）．
根据复合函数的单调性，本题即求cos2x在定义域（kπ-

π

4

，kπ+

π

4

），k∈z上的减区间．
由2kπ≤2x＜2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x＜kπ+

π

2

，k∈z，故函数cos2x的减区间为[kπ，kπ+

π

2

），k∈z．
综上可得，所求的区间为[kπ，kπ+

π

4

），k∈z，
故选C．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，余弦函数的图象特征，余弦函数的减区间，体现了转化的数学思想，属于中档题．