Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．

（1）求证：BD⊥AE；
（2）若E为PC的中点，求二面角C-BD-E所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要证BD⊥AE，只要证BD⊥面PAC，只需证BD⊥AC，BD⊥PC；
（2）要求直线BE与平面PBD所成角的正切值，必须找到直线BE在平面PBD内的射影，由（1）易找面PBD的垂线，归从而结为解直角三角形．

解答：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，∴PC⊥面ABCD
∵BD?面ABCD，∴BD⊥PC，
又因为BD⊥AC，PC∩AC=C，∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，∴BD⊥AE
（2）解：连AC交BD于点O，连PO，
由（1）知BD⊥面PAC，∴面BED⊥面PAC，
过点E作EH⊥PO于H，则EH⊥面PBD，连接BH，则∠EBH为BE与平面PBD所成的角．
∵BC=1，CE=1，∴BE=

2

，
在直角△PCO中，PC=2，CO=

2

2

，∴PO=

3

2

2

在△PEO中，PO×EH=PE×C0，∴EH=

1

3

，
在△EBH中，BE=

2

，EH=

1

3

，∴BH=

17

3

∴tan∠EBH=

EH

BH

=

17

17

．

点评：本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直的证明，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出线面角，属于中档题．