Question

已知，其中n∈N^*．
（1）若展开式中含x³项的系数为14，求n的值；
（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成（s∈N^*）的形式．

Answer 1

【答案】分析：（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x³的项，再根据展开式中含x³项的系数为14，求n的值．
（2）当x=3时，求得f（x）的解析式，由于若 =，a、b∈N^*，则=．再由 （）（）=1，令 a=s，s∈N^*，则必有 b=s-1，从而证得结论．
解答：解：（1）由二项式定理可知，二项展开式的通项公式为 T_r+1=•2^n-r•，
令 =3，解得r=6，展开式中含x³项的系数为•2^n-6=14，解得 n=7．
（2）当x=3时，f（x）==•2ⁿ•++
+…+．
设=x+y=+，由于 =，a、b∈N^*，
则=． …（7分）
∵（）（）=•=1，
∴令 a=s，s∈N^*，则必有 b=s-1，…（9分）
∴必可表示成   的形式，其中 s∈N^*． …（10分）
点评：本题二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，属于中档题．