Question

已知函数其中n∈N*,a为常数.

（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，

      当n=2时，

     所以  

（1）当a＞0时，由f′（x）=0得

＞1，＜1，

此时  f′（x）=.

当x∈（1，x₁）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；

当x∈（x_1,+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.

综上所述，n=2时，

当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为

当a≤0时，f(x)无极值.

（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以

           当n为偶数时，

令

则 g′（x）=1+＞0（x≥2）.

所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，

又  g(2)=0

因此≥g(2)=0恒成立，

        所以f(x)≤x-1成立.

当n为奇数时，

        要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1,

        令    h(x)=x-1-ln(x-1),

        则    h′（x）=1-≥0（x≥2）,

        所以   当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，

       所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.

综上所述，结论成立.

证法二：当a=1时，

              当x≥2时，对任意的正整数n，恒有≤1，

              故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.

              令

              则

              当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，

              因此　　当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.

              故　　当x≥2时，有≤x-1.

              即f（x）≤x-1.