Question

（2013•浙江模拟）设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A₁，A₂，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A₁A₂为直径的圆上，则双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：由已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点P的坐标，代入以A₁A₂为直径的圆的方程，即可得出离心率e．

解答：解：假设过焦点F（c，0）与渐近线y=-

b

a

x平行的直线y=-

b

a

(x-c)与渐近线y=

b

a

x相交，
联立

y=- b a (x-c) y= b a x

，解得

x= c 2 y= bc 2a

，得到P(

c

2

，

bc

2a

)，
∵若P恰好在以A₁A₂为直径的圆上x²+y²=a²，
∴(

c

2

)2+(

bc

2a

)2=a²，化为c²a²+b²c²=4a⁴，即c⁴=4a⁴，化为c²=2a²．
∴e=

c

a

=

c2 a2

=

2

．
则双曲线的离心率为

2

．
故答案为

2

．

点评：熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．