Question

如图，线段过y轴上一点，所在直线的斜率为，两端点、到y轴的距离之差为.
(Ⅰ)求出以y轴为对称轴，过、、三点的抛物线方程；
(Ⅱ)过抛物线的焦点作动弦，过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为，求点的轨迹方程，并求出的值.

Answer 1

(Ⅰ)抛物线方程为 ； (Ⅱ) 。

(I)设所在直线方程为，抛物线方程为
且， ,,再让直线AB的方程与抛物线的方程联立，借助韦达定理建立关于p的方程，求出p值，确定出抛物线的方程.
(II) 设，，然后利用导数求出经过C、D的切线方程，求出交点M的坐标，设的直线方程为，代入得,根据是方程的两个根,确定点M的轨迹方程以后，解决此问题才有了正确的出口.
(Ⅰ)设所在直线方程为，抛物线方程为，且， ，不妨设，     即
把代入得 
       故所求抛物线方程为 ---------4分
(Ⅱ)设，
过抛物线上、两点的切线方程分别是，
两条切线的交点的坐标为
设的直线方程为，代入得
 故的坐标为　点的轨迹为---------------8分
   


而 
故          -----------------------------------12分