Question

某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少

1

5

．第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加

1

4

．
（1）设n个月内的总投入为a_n万元，总收入为b_n万元，写出a_n，b_n
（2）问经过几个月后商场开始扭亏为盈．

Answer 1

分析：（1）根据计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少

1

5

，可知投入组成以80 为首项，

4

5

为公比的等比数列；第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加

1

4

，可知收入组成以40 为首项，

5

4

为公比的等比数列，从而可求；
（2）根据（1）中的数列，可得bn＞an?400×(1-(

4

5

)n-1)＞160((

5

4

)n-1-1)，从而可解．

解答：解：（1）由题意可得：an=80+80×(

4

5

)+80×(

4

5

)2+…+80×(

4

5

)n-1=80×

1-( 5 4 )n-1

1- 4 5

=400×(1-(

4

5

)n-1)；bn=40+40×(

5

4

)+40×(

5

4

)2+…+40×(

5

4

)n-1=40×

1-( 5 4 )n-1

1- 5 4

=160((

5

4

)n-1-1)
（2）由题意：bn＞an?400×(1-(

4

5

)n-1)＞160((

5

4

)n-1-1)
令(

5

4

)n-1=t，t≥1，上式等价于2(t-1)＞5(1-

1

t

)?2t2-2t＞5t-5?2t2-7t+5＞0?(2t-5)(t-1)＞0?t＞

5

2

或t＜1（舍去），即：(

5

4

)n-1＞

5

2

?(n-1)lg

5

4

＞lg

5

2

?n-1＞

lg 5 2

lg 5 4

=2?n＞3，故从第4年开始扭亏为盈．

点评：本题以实际问题为载体，考查等比数列，考查等比数列的求和公式，考查解不等式，有一定的综合性．