Question

16．已知y=f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-5）^{2}+3，3≤x≤6}\\{-\frac{1}{3}x，-3＜x＜3}\\{（x+5）^{2}-3，-6≤x≤-3}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得（5，3）是[3，6]这段二次函数图象的顶点，则设其解析式为f（x）=a（x-5）²+3，代入数据可得a=-1，即f（x）=-（x-5）²+3，进而由特殊值可得f（x）在[0，3]x的一次函数的解析式，再根据函数是奇函数，由奇函数的性质，分析可得f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）在[3，6]上是x的二次函数，且当3≤x≤6时，f（x）≤f（5）=3；
∴（5，3）是此二次函数图象的顶点，设这个二次函数为f（x）=a（x-5）²+3．
∵f（6）=2；
∴a=-1．
∴f（x）=-（x-5）²+3（x∈[3，6]），
∴f（3）=-1．
又函数f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数；
∴f（0）=0．
∵f（x）在[0，3]上是x的一次函数，且f（0）=0，f（3）=-1；
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x．
又∵函数f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数，
∴x∈[-3，0]时，f（x）=-f（-x）=-$\frac{1}{3}$x；
x∈[-6，-3]时，f（x）=-f（-x）=-[-（-x-5）²+3}=（x+5）²-3．
综上f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-5）^{2}+3，3≤x≤6}\\{-\frac{1}{3}x，-3＜x＜3}\\{（x+5）^{2}-3，-6≤x≤-3}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-（x-5）^{2}+3，3≤x≤6}\\{-\frac{1}{3}x，-3＜x＜3}\\{（x+5）^{2}-3，-6≤x≤-3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数奇偶性的运用以及待定系数法求函数的解析式，涉及分段函数时，注意分段函数，分段分析，分段讨论的思想．