Question

5．已知函数f（x）=5sinx•cosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{5}{2}$${\sqrt{3}$（x∈R）．求f（x）的最小正周期、单调增区间、图象的对称轴．

Answer 1

分析 利用辅助角公式降幂，由周期公式求得周期；再由相位在正弦函数的增区间内求得原函数的增区间，由相位的终边落在y轴上求得原函数的对称轴方程．

解答 解：f（x）=5sinx•cosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{5}{2}$${\sqrt{3}$=$\frac{5}{2}sin2x$$-5\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$$+\frac{5}{2}\sqrt{3}$
=$\frac{5}{2}sin2x-\frac{5}{2}\sqrt{3}cos2x$=5sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z．
∴单调增区间为[$kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
由$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，得$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
∴对称轴为$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．