Question

14．已知函数f（x）=2x²+alnx，若对任意两个不等的正数x₁，x₂（x₁＞x₂），都有f（x₁）-f（x₂）＞8（x₁-x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≥4
• B． a≥3
• C． a≥2
• D． 以上答案均不对

Answer 1

分析 条件等价于g（x）=f（x）-8x在（0，+∞）上为增函数，即g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数得出a≥-4x²+8x，则y=-4x²+8x在（0，+∞）上的最大值为a的最小值．

解答 解：∵f（x₁）-f（x₂）＞8（x₁-x₂），
∴f（x₁）-8x₁＞f（x₂）-8x₂，
∵x₁＞x₂＞0，
∴g（x）=f（x）-8x=2x²-8x+alnx在（0，+∞）上为增函数．
∴g′（x）=4x-8+$\frac{a}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴a≥-4x²+8x在（0，+∞）上恒成立．
设h（x）=-4x²+8x，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h_max（x）=h（1）=4．
∴a≥4．
故选：A．

点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．