Question

15．已知函数f（x）=cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=2，且b+c=4，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=2，求得A，再利用b+c=4以及基本不等式求得bc的范围，再利用余弦定理求得a的最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）△ABC中，∵f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2，∴A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
可得A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
又b+c=4≥2$\sqrt{bc}$，∴0＜bc≤4，
由 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=16-3bc∈[4，16），∴a∈[2，4），
综上可得，实数a的最小值为2．

点评 本题主要考查三角恒等变化，正弦函数的周期性和单调性，基本不等式的应用，属于中档题．